李永乐推导平方和公式
问答
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李永乐推导平方和公式
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小悟空专业问答知识小百科评论第一，数学归纳法
证明：
当n=1时，左式=1²=1
右式=1×(1+1)(2×1+1)/6=1x2x3/6=1
所以，当n=1时，等式成立。
第二，立方差公式作差累加法
证明：
n³-(n-1)³=1×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1
1³-0³=3×1²-3×1+1
2³-1³=3×2²-3×2+1
3³-2³=3×3²-3×3+1
……
n³-(n-1)³=3n²-3n+1
各等式全相加
n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n
=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n
=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2
故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6
2024-10-06 09:40:06 0条评论