今年高考必考10道题

小数老师说

今天小数老师给理科的同学推荐一道离散随机变量的题目，难度不大，大家试试吧！

(2016·全国Ⅰ，19)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

考点：

X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.

当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

点评：

本题考察离散型随机变量的分布列与数学期望的求法和应用，难度不大，是中档题。解题时要注意认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用。