考研线性代数n维向量

（tip：本文章适用于梳理知识体系）

向量是线性代数的重点和难点，向量是矩阵，同时矩阵又是由向量组构成的，向量组与矩阵的关系非常紧密。

首先要准确理解向量组的线性相关性及一个向量是否可以由一个向量组线性表示，熟练掌握线性相关性与线性表示有关的基本性质.这两个问题本质上对应齐次线性方程组是否有非零解及非齐次线性方程组是否有解，事实上向量也是研究方程组的重要工具之一。

其次，理解矩阵秩的定义、基本性质、向量组的秩与由向量组构成的矩阵的秩之间的关系，在方程组中，系数矩阵的秩本质上就是方程组中有多少个约束条件(其实就是初等数学中化简后的方程组的约束方程个数)。对齐次线性方程组来说约束条件的多少决定了其只有零解还是有非零解，对非齐次线性方程组来说，约束条件更是决定了方程组是否有解，以及有解时是有唯一解还是有无穷多解的问题，所以无论向量组的秩还是矩阵的秩都是非常重要的。

一、向量的概念及运算

(一)基本概念

1.向量

2.向量的模(长度)

3.向量的单位化

4.向量的三则运算

5.向量的内积

(二)向量运算的性质

1.向量三则运算的四点性质

2.向量内积运算的四点性质

二、向量组的相关性与线性表示

(一)基本概念

1.相关性

2.线性表示

(二)向量组相关性与线性表示的性质

1.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示；

2.设向量组a1 ··· am线性无关则：

（1）若a1 ··· am b线性相关，则b可由a1 ··· am唯一线性表示；

（2）a1 ··· am b线性无关的充要条件是b不可由a1 ··· am线性表示。

3.若一个向量组线性无关，则该向量组的任何部分向量组都线性无关；

4.若向量组有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关；

5.设a1 ··· an为n个n维向量，则a1 ··· an线性无关的充要条件是|a1 ··· an|0；

6.设a1 ··· an为n个m维向量，若m<n(左右长，上下短)，则向量组a1 ··· an一定线性相关；

7.向量组增加向量个数提高相关性；向量组增加维数提高无关性；

8.设a1 ··· an为两两正交的非零向量组，则a1 ··· an线性无关，反之不对。

速记：

向量组线性相关：

设a1 ··· am为向量组A，存在不全为0的k1 ···，km，使k1*a1 … km*am=0（有非零解）或至少有一个向量能由其余向量线性表示（几何意义：两向量共线、三向量共面等；代数意义：方程组有多余方程），则向量组a1 ··· am线性相关。

线性相关——r(A)<m；线性无关——r(A)=m

线性相关证法的两个角度：1. 按定义转化为是否只有零解问题 2. 矩阵秩

三、向量组等价、向量组的极大线性无关组与矩阵的秩

(一)基本概念（如标题中的三个基本概念要掌握）

(二)向量组秩的性质

1.任何矩阵，三秩相等(自身的秩=自身行秩=自身列秩)；

2.设向量组A：

a1 ··· am； 向量组B：b1 ··· bn 为两个维数相同的向量组，若A可由B线性表示，则A的秩不超过B的秩，即r(A)r(B)；

3.等价的向量组秩相等，反之不对。

注意：矩阵、向量、方程组之间的关系

四、n维向量空间

(一)基本概念

1.n维向量空间

2.基

3.向量在基下的坐标

4.过渡矩阵

(二)基本性质