费马点以前咋没学过

hello，大家好，我是吴老师，助力中考数学，咱们一直在路上！

今天咱们一起来聊一聊很多初中学生都听说过的费马点，

了解一下费马点的背景，定义，推导和应用。

皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为"费尔玛"(注意"玛"字)。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名"最后"的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

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那么何为费马点呢？

答："费马点"是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

值得一提的是这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

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那么三角形的费马点有几种情况呢？

答：这个要分两种情况。

首先任取一个顶点C 然后以C点为旋转中心，将△CDB 逆时针旋转60度到△CEF位置。

这样就通过旋转构造了全等三角形和一个等边三角形ECD。

易知DB=EF，DC=CE=DE 所以DA DB DC=DA DE EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。所以当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。

接下来我们再来看看情况二：当△ABC有一内角不小于120°时

在三角形ABC内任取一点D，然后绕C点逆时针旋转三角形BDC使得F C A三点共线。

所以∠ECD=180°-∠ECF-∠DCA=180°-∠BCD-∠DCA=180°-∠ACB≤60°。

小角对小边，所以ED≤DC。

所以BD DC DA≥EC ED DA≥FA。

所以当D在C点时，BD DC DA有最小值。即C为费马点。

综上所得：我们知道，

当△ABC最大内角小于120°时，F在△ABC内部，且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;

当△ABC有一内角不小于120°时，F点与最大角的顶点重合。

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特别地，如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则有结论：

（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA PB PC=AD=BE=CF。

这样去做等边三角形之后再连接，其实就是前面也讲过的手拉手模型，那么如何来证明呢？

（1）证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE，∴△AFC≌ABE. ∴CF=BE

同理可证△BCF≌△BDA，CF=AD. ∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE ∴∠AFC=∠ABE ∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120° ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.

（2）证明并不困难，这里就不给出证明了，给一点提示：比如在FC上取一点Q，使得FQ=AP。

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同样的咱们来一道例题来练练手：

分析：首先很容易知道三角形ABD是一个等腰三角形，所以它的费马点肯定在AC这条线段上。然后题目让求AP BP PD的最小值，其实就是问费马点到三个顶点的距离之和。

根据前面的方法和总结，我们可以以AB为边往外做一个等边三角形。

所以由前面的结论很快就知道PA PB PD=BD'。而由题干给出的角度条件，很容易就得出三角形ADD'是一个等腰直角三角形，所以DD'就很容易求出来了。

最后再留一道练习题给各位思考一下，题目不难哦，做出来的可以评论出你的答案。

最后希望本文能对您和初中同学有所帮助，我专注初中数学教育的吴老师。知识需要关注，分享。